曲面参数化概述

前言

对于如何确定本篇文章的内容涵盖范围这个问题，我想了很久，最终打算从最基本的什么是形状（shape） 这个问题谈起。

形状的本质

在拓扑相关的理论中，形状是指n−1维流形（manifold）在n维流形中的嵌套。

流形是连续的，详细的定义也较为复杂，可以从以下两点来辅助理解流形的概念：

1. n 维流形的局部与 Rn 等价，例如：曲面（二维流形）的局部是二维平面。
2. 对流形进行网格剖分，得到的离散流形除去边缘边之外，其他边有且仅有两个面与之相邻。

所以我们可以认为，在 Rn 或更高维欧式空间中观测不同 n−1维流形的嵌套，就是在观测不同的形状。

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更严谨的，对于一个向量函数，可以表达为 f:Rn↦Rm.

我们令 →x=(x1,…,xn)T∈Rn， →y=(y1,…,ym)T∈Rm，故：

→y=f(→x)⟹{y1=f1(x1,…,xn)yi=fi(x1,…,xn)ym=fm(x1,…,xn)

假设 f 是可微的，在自变量任意一点的邻域中，我们有（一阶泰勒展开）：

{Δy1=∂f1∂x1Δx1+⋯+∂f1∂xjΔxj+⋯+∂f1∂xnΔxnΔyi=∂fi∂x1Δx1+⋯+∂fi∂xjΔxj+⋯+∂fi∂xnΔxnΔy1=∂fm∂x1Δx1+⋯+∂fm∂xjΔxj+⋯+∂fm∂xnΔxn

写成矩阵形式

(Δy1…Δyi…Δym)=(∂f1∂x1…∂f1∂xj…∂f1∂xn……………∂fi∂x1…∂fi∂xj…∂fi∂xn……………∂fm∂x1…∂fm∂xj…∂fm∂xn)(Δx1…Δxj…Δxn)

中间的系数矩阵就是m×n的雅克比（Jacobian）矩阵，简化写作： Δ→y=Jm×nΔ→x

观察映射f的雅可比矩阵：

• 矩阵中第 i 行 表述为第 i 个映射 fi:Rn↦R 的梯度（gradient） ∇fi=(∂fi∂x1,…,∂fi∂xj,…,∂fi∂xn)

• 矩阵中第 j 列 表述为映射沿 xj 方向的切向量（tangent vector） d(→y)dxj=(∂f1∂xj,…,∂fi∂xj,…,∂fm∂xj)T

  也可以理解为一个一维流形： R↦Rm

对不同 n 和 m，Δ→y=Jm×nΔ→x 可以表述不同含义，总体上：

• 若 m>n ，因变量维度比自变量维度大，那么以上公式表述了低维流形在高维空间中的嵌套，即形状。
• 若 m<n ，因变量维度比自变量维度小，那么以上公式表述的是高维流形向低维空间的投影。
• 若 m=n ，则是表述的线性变换，例如旋转、缩放。

值得注意的是，→y=f(→x) 在局部等价于 Δ→y=Jm×nΔ→x，而后者可以表述线性变换，前者通过与后者局部等价，可以表述非线性变换。

特别的：

m	n	presents
1	1	数到数的映射
2	1	平面上的曲线
1	2	二元函数；灰度图；二维流形向一维空间的投影
2	2	线性变换：旋转、缩放、剪切

二维流形

对形状有更深的理解之后，我们再来讨论二维流形。

为什么是二维流形？

因为人类只能在三维空间中去观察，故能直接观察到的最复杂的形状就是二维流形在三维空间中的嵌套，故着重研究二维流形是有意义的。

并不是所有图形都是流形，但是非流形都可以通过局部流形的拼接表述出来，所以我们只关注流形的特性。